Extreme Value Theorem

흔히 아는 최대최소정리 관련 내용이다.

일변수 함수에서는 구간으로 바로 나오지만, 이변수부터는 고려해야 할 사항이 많다.

지금부터 한번 알아보자.
원서 : Stewart, J. (2016). Calculus: Early Transcendentals (8th ed.).


최대최소정리(Extreme Value Theorem)

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최대최소 정리는 연속함수의 중요한 성질로써, 연속함수가 최대값과 최소값을 가질 조건을 말해주는 정리이다. 이 정리는 중간값 정리와 함께 연속함수의 당연한 성질로 오랫동안 다루어져 왔다.

최대최소 정리라는 것은 폐구간 [a,b]에서 정의된 연속함수 f(x)는 항상 최대값, 최소값이 존재한다. 따라서 어떤 연속함수의 최대값과 최소값을 구하는 방법은 구간의 양 끝 점의 함수값과 임계점들의 함수값을 구하여 비교하여 최대값과 최소값을 구할 수 있다.

다변수에서는 다음과 같이 정의할 수 있다.

f가 xy-평면의 유계이고 닫힌 집합 D에서 정의된 연속함수이면, f는 D에서 반드시 최댓값과 최솟값을 갖는다.
이 때, 최댓값과 최솟값은 fx​(x,y)=fy​(x,y)=0인 D의 내부 점 또는 D의 경계 에서 갖는다.


예제로 일변수와 다변수 문제를 하나 씩 풀어보자.

풀어보는게 빠르다.


문제 1

다음 함수에 대한 다음 설명 중 옳은 것만을 있는 대로 고르면?

\[f(x) = x^{\frac{2}{3}} (6 - x)^{\frac{1}{3}}\]

(가) f(x)는 두 점에서 미분불가능하다.

(나) f(x)는 두 점에서 극값을 갖는다.

(다) f(x)는 x=4에서 최댓값을 갖는다.


까다로워보이지만 그냥 미분해서 극값 구하면 풀린다.

그 유명한 미그그미로 곱미분을 하면 다음과 같이 나온다

\[f'(x) = \frac{2}{3} x^{-\tfrac{1}{3}} (6-x)^{\tfrac{1}{3}} - \frac{1}{3} x^{\tfrac{2}{3}} (6-x)^{-\tfrac{2}{3}}\] \[= \frac{1}{3} x^{-\tfrac{1}{3}} (6-x)^{-\tfrac{2}{3}} (-3x + 12)\]

이를 표로 그리면 다음과 같이 나온다.

x … 0 … 4 … 6 …
f’(x) – ∞ + 0 – ∞ –


따라서 x=0에서 극소, x=4에서 극대를 갖으며 , x=0과 x=6에서는 미분이 불가능하다.

또한

\[\lim_{x \to -\infty} f(x) = \infty\]

이므로 x=4에서 최댓값을 갖지 않는다.



문제 2

영역

\[\{(x,y): x^2 + y^2 \leq 9\}\]

에서 다음 함수에 대한 최댓값과 최솟값의 합은?

\[f(x,y) = x^2 + 2y^2 - 4y + 1\]


다변수가 일변수보다 살짝 더 까다롭지만 내부점과 경계만 신경써주면 된다.

먼저 영역 내부의 임계점을 구하자.

\[f_x = 2x = 0, \quad f_y = 4y - 4 = 0\]

이를 연립하면 점 (0,1)을 얻는다.

\[f(0,1) = -1\]

이제 경계 x² + y² = 9 에서 최대 및 최소를 구하자.

\[f(x,y) = x^2 + 2y^2 - 4y + 1\] \[f(y) = y^2 - 4y + 10 \quad (-3 \leq y \leq 3)\]

따라서 최대는 f(−3) = 31, 최소는 f(2) = 6이다.

따라서 영역 {(x,y): x² + y² ≤ 9} 에서 함수 f(x,y)의 최대는 31, 최소는 -1이다.



문제 3

세 꼭짓점이 (1,0), (4,0), (1,3)인 폐삼각형 영역 D에서 다음 함수 의 최댓값은?

\[f(x,y) = 6 + xy - 2x - 2y\]


영역은 다양하게 주어질 수 있으나 그냥 영역을 쪼개서 풀면 수월하게 풀 수 있다.

먼저 영역 내부의 임계점을 구하자.
fx = 2x + 2xy = 0, fy = 2y + x² = 0 을 연립하면 점 (0,0)을 얻는다.
f(0,0) = 4

이제 경계에서 최대 및 최소를 구하자.

  1. y = 1, −1 ≤ x ≤ 1 일 때,
    f(x) = 2x² + 5, f′(x) = 4x = 0 ⇒ x = 0 이므로
    f(0) = 5, f(±1) = 7 이다.

  2. x = 1, −1 ≤ y ≤ 1 일 때,
    f(y) = y² + y + 5, f′(y) = 2y + 1 = 0 ⇒ y = −1/2
    f(−1/2) = 19/4, f(1) = 7, f(−1) = 5 이다.

  3. y = −1, −1 ≤ x ≤ 1 일 때,
    f(x) = 5 이다.

  4. x = −1, −1 ≤ y ≤ 1 일 때,
    f(y) = y² + y + 5, f′(y) = 2y + 1 = 0 ⇒ y = −1/2
    f(−1/2) = 19/4, f(1) = 7, f(−1) = 5 이다.

따라서 M = 7, m = 4 이므로 M + m = 11 이다.