선형변환과 표준행렬(Linear Transform & Standard Matrix)
슬슬 선형대수의 핵심들이 나오고 있다. 중요한 개념이니 숙지하자.
그리고 지금은 벡터간의 선형변환이지만 다음의 벡터끼리가아닌 다항식 등 간의 선형변환이 이루어지니 이 부분을 기억하자.
원서 : Strang, G. (2023). Introduction to Linear Algebra (6th ed.).
1. 선형변환 (Linear Transform)
벡터 공간 U에서 V로의 변환 T는 T: U→V로 나타낸다.
변환 T: U→V는 다음 두 조건을 만족하면 선형변환이라고 한다
선형변환은 영벡터를 영벡터로 사상한다. (T(0) = 0)
2. 표준행렬 (Standard matrix)
\[T:R^{n}\rightarrow R^{m}\]위 선형변환에 대해 T의 표준행렬 A는 다음과 같이 정의된다.
\[A=[T(e_{1})T(e_{2})\cdot\cdot\cdot T(e_{n})]\] \[e_{1}, e_{2}, \dots, e_{n}\]이때 위는 R^n의 벡터이다.
3. 핵(kernel), 상(image)과 차원
\[T:V→W\]위와 같은 선형사상에서 T가 0으로 사상하는 V의 벡터 집합을 T의 핵(kernel, nullspace) 이라 하고 Ker T 로 나타낸다.
V의 적어도 하나의 벡터의 T에 의한 상인 W의 모든 벡터의 집합을 T의 상(image, range) 이라 하고 Im T로 나타낸다.
T의 상의 차원을 T의 계수(rank)라 하고 dim(Im T) 또는 rank(T) 로 표시한다.
차원정리
이걸 수식을 옮겨서 다음 수식도 자주 사용하니 숙지하자.
\[nullity(A) = rank(A) - n\]4. 선형변환의 단사와 전사
선형변환 T:U→V가 단사함수이면 ker T={0} 이므로 dim(kerT)=0이다
선형변환 T:U→V가 전사함수이면 dim(V)=dim(Im~T) 이다
참고
계수(rank): 행공간의 차원, 열공간의 차원, 상공간의 차원, 치역의 차원.
퇴화차수(nullity): 핵(또는 핵공간)의 차원, 퇴화공간의 차원, 영공간의 차원, 해공간의 차원, 직교여공간(직교보공간)의 차원
이해를 위해 몇가지 문제를 풀어보자.
문제 1
\[L:R^{3}\rightarrow R^{3}\]선형변환 를 다음과 같이 정의하고 L^-1를 L의 역변환이라고 할 때, 벡터 L^-1(2,3,-1)의 모든 성분의 합을 구하시오.
\[L(x,y,z)=(2x+y-z, x+3y-2z, x+z)\]처음 풀때는 부동산 계약서처럼 아무것도 안보일 수 있지만 익숙하면 쉽게 전개할 수 있다.
선형변환 L의 표현행렬은 다음과 같이 나온다
\[A = \begin{pmatrix} 2 & 1 & -1 \\ 1 & 3 & -2 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}\]그리고 이를 역변환시키면 다음과 같이 나온다
\[A^{-1} = \frac{1}{6} \begin{pmatrix} 3 & -1 & 1 \\ -3 & 3 & 3 \\ -3 & 1 & 5 \end{pmatrix}\]여기에 (2,3,-1)을 곱하면 답을 구할 수 있다.
\[L^{-1}(2,3,-1) = \frac{1}{6} \begin{pmatrix} 3 & -1 & 1 \\ -3 & 3 & 3 \\ -3 & 1 & 5 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{3} \\[4pt] 0 \\[4pt] -\frac{4}{3} \end{pmatrix}\]따라서 답은 -1이다.
문제 2
실수 성분 n×n 행렬로 이루어진 벡터 공간을 Mn이라 하고, 행렬 A in Mn의 i행 j열 성분을 aij라 하자. 다음 보기의 함수 중 Mn에서 R로 가는 선형사상인 것만을 있는 대로 고르면? (단, Tr는 대각합, det는 행렬식을 의미한다.)
이 부분은 앞에서 언급한적이 있으니 앞부분을 참고해도 좋다.
쉽게 풀자면, 덧셈으로 쪼개지는지, 스칼라를 빼낼수 있는지를 체크하면 된다.
우선 F(A+B) = F(A) + F(A), F(cA) = cF(A)를 만족하므로 선형사상이다.
그리고 Tr(대각합) 또한 덧셈으로 쪼개지고 스칼라를 빼낼수 있으므로 선형사상을 만족한다.
하지만 det(행렬식)은 우선 덧셈으로 쪼개지지않으며 스칼라도 n승형태로 밖으로 나오기때문에 선형사상이 아니다.