행렬의 대각화(Diagonalization)
이미 언급했듯이 앞부분의 개념들은 이 다음부분을 이해하기 위한 초석이다.
이제부터 나오는 새로운 개념들을 위해하기 위해서는 더욱 앞부분의 행렬, 고유치, 그리고 공간 등의 개념들이 더 중요해진다.
원서 : Strang, G. (2023). Introduction to Linear Algebra (6th ed.).
1. 행렬의 대각화(Diagonalization)
정방행렬 A에 대하여 P−1AP가 대각행렬(대각원소를 제외한 원소는 모두 0인 행렬)로 되는 가역행렬 P가 존재하면
“행렬 A는 대각화 가능하다”라고 하고, “행렬 P는 A를 대각화한다”라고 한다
다음의 형식을 기억하자.
\[C=P^{−1}AP\]2. 닮은 행렬 (Similar matrices)
A와 C가 같은 크기의 정사각행렬일 때, 다음을 만족시키는 가역행렬 P가 존재하면, A와 C는 서로 닮음행렬이라고 한다.
서로 닮음인 행렬의 다음과 같은 성질들은 서로 일치한다.
이러한 성질을 닮음 불변량(similarity invariant) 이라고 한다
① 계수(rank)
② 행렬식(determinant)
③ 가역성 (invertible)
④ 대각합 (sum of diagonal elements)
⑤ 고유치 & 대수적중복도와 기하적중복도
⑥ dim(ketnel) = nullity (핵의 차원)
⑦ 고유다항식 (eigen polynomial)
⑧ 최소다항식 (least polynomial)
여기서 마지막 최소다항식은 처음나오는 개념인데 후에 Jordan canonical form과 같이 언급하지 이름만 기억하자.
추가로 닮은 행렬이 위 8가지 성질을 만족하다는 것이지, 8가지 성질을 만족한다고 닮은 행렬은 아니다, (즉, 역은 성립하지 않는다)
위 명제의 대우는 “8개 성질중에서 하나라도 거짓이면 닮음이 아니다“
3. 닮은 대각행렬 (Similar diagonal matrix)
다음 형식을 만족하는 가역행렬 P가 A의 고유벡터(eigen value) 로 이루어진 행렬일때,
C는 닮은 대각행렬이다.
\[C=P^{−1}AP\]이때 C는 닮은행렬의 성질을 A와 공유하고 형태가 대각행렬(대각원소는 A의 고유치)이 된다.
4. 행렬을 대각화하는 방법
-
단계1. A의 n개의 일차독립 고유벡터 v1,v2,…,vn을 구한다.
-
단계2. v1,v2,…,vn을 그 열벡터로 하는 행렬 P를 구성한다.
-
단계3. 이 경우 행렬 P−1AP는 연속 대각성분으로써 λ1,λ2,…,λn을 갖는 대각행렬이 될 것이다.
여기서 λi는 vi(i=1,2,…,n)에 대응하는 고유치이다.
크게 어려울거 없이 고유치를 구하면 자연스럽게 대각화도 시킬 수 있다.
예시와 함께 대각화를 시켜보자.
다음 행렬 A를 대각화 시켜보자.
\[A = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ -2 & 4 \end{bmatrix}\]A의 고유치, 고유벡터를 구한다.
\[|A - \lambda I| = \begin{vmatrix} 1-\lambda & 1 \\ -2 & 4-\lambda \end{vmatrix} = \lambda^2 - 5\lambda + 6 = 0\]따라서 λ = 2,3이다.
여기서 각 고유치의 고유벡터를 구하면 다음과 같다.
\[\lambda = 2 \;\; \Rightarrow \;\; v_1 = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix}, \quad \lambda = 3 \;\; \Rightarrow \;\; v_2 = \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \end{bmatrix}\]그리고 고유벡터들을 열로하는 행렬 P를 잡는다.
\[P = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 2 \end{bmatrix}, \quad P^{-1} = \begin{bmatrix} 2 & -1 \\ -1 & 1 \end{bmatrix}\]마지막으로 대각행렬 P-1AP는 대각성분들을 A의 고유치로 갖는다
\[P^{-1} A P = \begin{bmatrix} 2 & -1 \\ -1 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ -2 & 4 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 3 \end{bmatrix}\]과정을 보다 싶이 그냥 고유치 구하는 과정과 같고, 특성다항식 빨리 구하는 공식을 알면 더 쉽게 풀 수 있다.
Theorem
A가 nxn행렬이면 다음은 동치이다.
① A는 대각화 가능하다.
② A는 n개의 일차독립 고유벡터를 갖는다.
③ 고윳값의 대수적 중복도와 기하적 중복도가 같다.
참고
n차 정방행렬 A의 서로 다른 고유치의 개수가 n개이면 A의 일차독립인 고유벡터의 개수는 항상 n개 존재한다.
따라서 n차 정방행렬 A의 서로 다른 고유치의 개수가 n개이면 n차 정방행렬 A가 대각화 가능이 된다.
하지만 n차 정방행렬 A가 대각화 가능하면 n차 정방행렬 A가 서로 다른 고유치의 개수가 n개라는 것은 아니다.
만약, 고유치가 중근을 갖는 경우에는 일차독립인 고유벡터의 개수에 따라 대각화의 가능성이 결정된다.
또한 n차 정방행렬 A가 대칭행렬이면 항상 (직교) 대각화 가능하다.
그리고 A가 가역행렬인 것과 대각화 가능의 여부는 서로 무관하다.
여기서 직교대각화(Orthogonal Diagonalization) 로 넘어가기 전에 행렬의 멱승에 관해 짚고 넘어가자.
5. 행렬의 멱승 (Power of matrix)
A가 nxn행렬(정방행렬)이고, P가 가역(정칙)행렬이면 다음이 성립한다.
일반적으로 임의의 양의 정수 k에 대해서 다음이 성립한다.
\[(P^{-1}AP)^k = P^{-1}A^kP\]이 방정식으로 부터 A가 대각화가능하고 P-1AP가 대각행렬이면, 다음이 성립한다.
\[D^k = (P^{-1}AP)^k = P^{-1}A^kP\]이러면 D의 k승은 쉽게 계산할 수 있다.
행렬 A의 n승을 계산하는 방법은 크게 3가지로 나뉜다.
\[A^n\]① element pattern (곱해서 패턴찾기)
② Cayley-Hamilton Theorem
③ diagonalization
여기서 3번째 방법이 방금 언급한 방법이다.
그리고 2번째 cayley - hamilton 방법을 정리해 보자.
첫번째는 그냥 단순 노가다라 따로 언급안하고 넘어간다.
6. Cayley-Hamilton Theorem
이름은 어려워보이지만 그냥 수학자 이름이다.
쉽게 설명하면 행렬 A의 고유방정식 A - λI = 0 에 행렬 A 를 대입해도 식이 성립한다는 것이다.
예시를 보면 훨씬 쉬우니 예제를 풀어보자.
문제 1
행렬 A가 다음과 같을때 A^5 - 2A^3 + 2A - I의 대각 성분의 합은?
\[\begin{bmatrix} -1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & -1 & 0 & 0 \\ 4 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 5 & 1 \end{bmatrix}\]이걸 어케 풀어 싶겠지만 cayley-hamilton을 쓰면 굉장히 쉽다.
행렬 A는 상삼각행렬이기때문에 고유치 특성에 따라 고유치는 -1, -1, 1, 1 이다.
따라서 특성다항식은 (λ - 1)^2(λ+1)^2가 나오고 이를 전개하면 합차의 제곱이므로 다음과 같이 나온다.
\[λ^4 - 2λ^2 +1\]그리고 케일리해밀턴 정리에 따라 다음과 같이 전개할수 있다.
\[A^4 - 2A^2 +1=0\] \[A^5 - 2A^3+2A -I= (A^4 - 2A^2 +1)A + A - I = A-I\]따라서 A의 고유치에 1씩 빼고 합하면 -4가 나온다.
그럼 이제 다른 유형의 멱승문제를 풀어보자.
문제 2
다음을 만족하는 두 실수 a, b를 찾아서 log2a/log2b를 구하여라.
\[\left( \begin{bmatrix} 3 & 1 \\ 1 & 3 \end{bmatrix}^{100} \begin{bmatrix} 4 \\ 0 \end{bmatrix} \right) = a \begin{bmatrix} -1 \\ -1 \end{bmatrix} + b \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix}\]이것도 행렬의 멱승 많이 나오는 유형중 하나이다.
고유벡터에 고유치를 대응하는 방법을 기억하자.
우선 대칭행렬에 행의 합이 같으므로 고유치 4를 바로 알수 있고 이어서 trA를 통해 고유치가 2,4라는 것은 바로 알 수 있다.
① λ = 2
\[\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix}\]이므로 고유벡터는 (1 -1)의 전치이다. 따라서 다음을 만족한다.
\[\begin{bmatrix} 3 & 1 \\ 1 & 3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 \\ -1 \end{bmatrix} = 2 \begin{bmatrix} 1 \\ -1 \end{bmatrix}\]② λ = 4
\[\begin{bmatrix} -1 & 1 \\ -1 & -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix}\]이므로 고유벡터는 다음과 같다.
\[\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix}\]따라서
\[\begin{bmatrix} 3 & 1 \\ 1 & 3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix} = 4 \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix}\]즉 문제는 고유벡터로 분해한 것이다.
따라서 다음과 같이 답을 구할 수 있다.
\[a = 2^{101}, \; b = 2^{201}\] \[\frac{\log_2 a}{\log_2 b} = \frac{\log_2 2^{101}}{\log_2 2^{201}} = \frac{101}{201}\]