극대 및 극소
일변수 함수에 대한 극대 및 극소 부분이고 다변수로 가기전의 초석이다
다변수에서의 극대 극소, 최대 최소 를 판정하는 큰 틀은 비슷하다.
원서 : Stewart, J. (2016). Calculus: Early Transcendentals (8th ed.).
1. 극대 및 극소의 정의
① 함수 f의 x = a 에서의 f(a) 값이 a에 가까이 있는 모든 x에서의 f(x) 값보다 클 때, 함수 f는 x = a 에서 극대라 하고 f(a)의 값을 극댓값이라 한다.
또 y = f(x)의 그래프 위의 점 (a, f(a))를 극대점이라고 한다.
② 함수 f의 x = a 에서의 f(a) 값이 a에 가까이 있는 모든 x에서의 f(x) 값보다 작을 때, 함수 f는 x = a 에서 극소라 하고 f(a)의 값을 극솟값이라 한다.
또 y = f(x)의 그래프 위의 점 (a, f(a))를 극소점이라고 한다.
③ 극댓값, 극솟값을 통틀어 극값이라고 하고, 극대점, 극소점을 통틀어 극점이라고 한다.
2. 1계 도함수를 통한 극대 및 극소 판정
함수 f(x)가 x = a, x = b 에서 연속이라 할 때,
① x = a 좌우에서 증가상태에서 감소상태로 바뀌면 함수 f(x)는 x = a 에서 극대 라고 할 수 있다.
즉, x = a의 좌우에서 f′(x) 부호가 +에서 –로 바뀌면 함수 f(x)는 x = a에서 극대 가 된다.
② x = b 좌우에서 감소상태에서 증가상태로 바뀌면 함수 f(x)는 x = b 에서 극소 라고 할 수 있다.
즉, x = b의 좌우에서 f′(x) 부호가 +에서 –로 바뀌면 함수 f(x)는 x = b에서 극소 가 된다.
특별히 함수 f(x)가 x =a를 포함하는 어떤 구간에서 미분 가능할때, x = a에서 극대 또는 극소이면 f′(a) = 0 이다.
참고
함수 y = f(x) 의 극점은 f(x)의 증가, 감소가 변하는 기준점이라고 생각하자.
또한 함수의 극대, 극소는 미분 가능성과 무관 하게 정의된다.
3. 2계도함수와 그래프
다변수에서는 안장점(seddle point)가 존재하지만 1변수에서는 존재하지않아 역시 가볍게 넘어가면 된다.
하지만 Jensen’s inequality (젠센 부등식) 은 많이 쓰이니 형태를 눈에 익히자.
또한 convex, concave 같은 경우에는 최적화 이론에서도 나오니 기억하자.
① 아래로 볼록 (Convex)
임의의 실수 x₁, x₂ ∈ I 와 임의의 두 점 P, Q에 대하여 두 점 P, Q 사이에 있는 곡선 부분이 선분 PQ보다 아래쪽에 있으면, 곡선 y = f(x)는 구간 I에서 아래로 볼록(또는 위로 오목)하다고 한다.
따라서 임의의 실수 x₁, x₂ ∈ I와 0 < t < 1에 대하여 함수 f(x)가 다음 부등식을 성립하면 함수 f(x)는 아래로 볼록임을 알 수 있다.
\[f\!\left(\frac{x_{1}+x_{2}}{2}\right) \;\le\; \frac{f(x_{1})+f(x_{2})}{2}\]또한 두 번 미분 가능한 함수 y = f(x)를 전선의 기울기의 변화 상황을 분석해보면 다음과 같은 결론을 내릴 수 있다.
x₁ < x₂ 일 때, f′(x₁) ≤ f′(x₂) → 아래로 볼록 (f′(x)가 증가)
즉, 함수 f(x)가 f′′(x) ≥ 0이면 아래로 볼록임을 알 수 있다.
② 위로 볼록 (Concave)
임의의 실수 x₁, x₂ ∈ I 와 임의의 두 점 P, Q에 대하여 두 점 P, Q 사이에 있는 곡선 부분이 선분 PQ보다 위쪽에 있으면, 곡선 y = f(x)는 구간 I에서 위로 볼록(또는 아래로 오목)하다고 한다.
따라서 임의의 실수 x₁, x₂ ∈ I와 0 < t < 1에 대하여 함수 f(x)가 다음 부등식을 성립하면 함수 f(x)는 위로 볼록임을 알 수 있다.
또한 두 번 미분 가능한 함수 y = f(x)를 전선의 기울기의 변화 상황을 분석해보면 다음과 같은 결론을 내릴 수 있다.
x₁ < x₂ 일 때, f′(x₁) ≥ f′(x₂) → 위로 볼록 (f′(x)가 감소)
즉, 함수 f(x)가 f′′(x) ≤ 0이면 위로 볼록임을 알 수 있다.
Theorem
2차 도함수 판정법
미분가능한 함수 f(x)의 극대와 극소는 다음과 같이 정리할 수 있다.
① f′(a) = 0이고 f′′(a) < 0이면 f(x)는 x = a에서 극댓값을 갖는다.
② f′(b) = 0이고 f′′(b) > 0이면 f(x)는 x = b에서 극솟값을 갖는다.
이 부분까지도 고등수학에서 충분히 다루는 개념이기 때문에 리마인드하고 넘어가면 된다.
하지만 확장되는 다음 부등식을 눈에 익히자.
3.1 Jensen’s inequality
임의의 두 점 x₁, x₂, …, xₙ ∈ I 에 대하여
① f(tx₁ + (1 – t)x₂) ≤ tf(x₁) + (1 – t)f(x₂) → f(x)는 아래로 볼록이다.
② f(tx₁ + (1 – t)x₂) ≥ tf(x₁) + (1 – t)f(x₂) → f(x)는 위로 볼록이다.
위 식은 convex 와 concave 함수의 다른형태의 정의이다.
여기서 옌센 부등식은 이 정의를 확률론/ 기댓값 으로 확장한 것이다.
즉, f가 convex function 이면
\[f(E[X])≤E[f(X)]\]이고 만약 concave 함수면 부등호 방향이 바뀌어서 다음과 같은 형태이다.
\[f(E[X])≥E[f(X)]\]왼쪽식은 값을 먼저 평균내고 함수를 씌운것이고, 우변은 함수를 씌우고 평균낸 것이다.
즉 convec f일때는 함수를 씌우고 평균낸 값이 항상 크거나 같다는 것을 의미 한다.
앞서 언급한 부등식 또한 옌센부등식으로 해석할 수 있다.