1계 도함수와 그래프
수학에서 최적화(optimization) 는 주어진 조건 속에서 어떤 양을 가장 크게 하거나(최대화), 가장 작게 하는(최소화) 값을 찾는 과정을 의미한다. 이러한 문제는 경영학에서 이익을 극대화하거나, 공학에서 에너지를 최소화하는 등 다양한 실제 상황과 직결된다.
미적분학에서는 이러한 최적화의 기초로서, 일변수 함수에서 다변수까지의 극대와 극소를 다룬다. 이런 함수의 극대극소 문제는 단순한 계산을 넘어, 최적화 이론 의 출발점이라고 할 수 있다.
원서 : Stewart, J. (2016). Calculus: Early Transcendentals (8th ed.).
1. 미분과 그래프
도함수는 ‘접선의 기울기를 나타내는 함수’라고 할 수 있다. 이때, 접선의 기울기로부터 함수의 변화 상태를 파악할 수 있다. 그런 의미에서 미분학은 근본적으로 접선의 기울기(도함수)로부터 함수의 변화를 분석하는 학문이라고 할 수 있다. 지금부터 도함수를 이용하여 함수의 중요한 변화 상태인 증가, 감소 상태를 파악하고, 증가와 감소의 기준으로서 극대와 극소에 대하여 정리한다. 또한 이계 도함수를 이용하여 곡선의 오목과 볼록에 대하여 정리한다.
2. 증가함수 또는 감소함수의 정의
① 증가함수
정의역에 속하는 임의의 x₁, x₂에 대하여 x₁ < x₂ 일 때, f(x₁) < f(x₂)가 성립하면 함수 f(x)는 증가함수라 한다.
또한 임의의 x₁, x₂에 대하여 x₁ < x₂ 일 때, f(x₁) ≤ f(x₂)가 성립하면 함수 f(x)는 단조증가함수라 한다.
② 감소함수
정의역에 속하는 임의의 x₁, x₂에 대하여 x₁ < x₂ 일 때, f(x₁) > f(x₂)가 성립하면 함수 f(x)는 감소함수 라 한다.
또한 임의의 x₁, x₂에 대하여 x₁ < x₂ 일 때, f(x₁) ≥ f(x₂)가 성립하면 함수 f(x)는 단조감소함수 라 한다.
2.1 1계 도함수와 증가함수 및 감소함수의 관계
① 정의역에 속하는 구간에 대하여 f(x)가 증가함수이면 f′(x) ≥ 0이다.
② 정의역에 속하는 구간에 대하여 f(x)가 감소함수이면 f′(x) ≤ 0이다.
Theorem
① f′(x) > 0이면 f(x)는 증가한다.
② f′(x) < 0이면 f(x)는 감소한다.
해당 부분은 고등수학에서 다루는 내용이라 크게 어렵지 않다.
그래도 까다로울 수 있는 예제를 풀어보자.
문제 1
f(x), g(x)가 모든 실수에서 정의된 미분가능한 함수라고 하자.
f(x), g(x)가 모두 증가함수일 때, 다음 중 옳은 것을 모두 고르면?
(ㄱ) f(x) + g(x)도 증가함수이다.
(ㄴ) f(x)g(x)도 증가함수이다.
(ㄷ) g(x)/f(x), (f(x) ≠ 0)도 증가함수이다.
(ㄹ) (f ∘ g)(x)도 증가함수이다.
f(x), g(x)가 모두 증가함수이므로, f′(x), g′(x) > 0이다.
(ㄱ) h(x) = f(x) + g(x)라 하면, h′(x) = f′(x) + g′(x) > 0이므로, h(x)도 증가함수이다.
(ㄴ) f(x) = e^x, g(x) = e^2x라 하면, h(x) = g(x)/f(x) = e^2x / e^x = e^x이다.
즉, h(x)는 증가함수가 아니다.
(ㄷ) f(x) = x, g(x) = 2x라 하면, h(x) = 2x^2 이므로 증가함수가 아니다.
(ㄹ) h(x) = (f ∘ g)(x)라 하자. h′(x) = f′(g(x)) g′(x) > 0이므로 증가함수이다. (f′(x) > 0, g′(x) > 0)
따라서, 증가함수는 (ㄱ), (ㄹ)이다.
모든 범위에서 명제문제는 항상 까다롭지만, 개인적으로 반례를 하나라도 찾거나 반례를 기억하는게 최선이라고 생각한다. 또한 보통 맞는말 같으면 거짓이다. (특히 선형대수)
문제 2
방정식 4x⁵ + 2x³ + 8x – 10 = 0의 실근의 개수를 구하면?
그래프를 그려서 기하적으로 푸는것도 하나의 방법이 될 수 있다.
하지만 미분을 통해 그래프 개형으로 더 빠르게 풀 수 있다.
f(x) = 4x⁵ + 2x³ + 8x – 10 에서
f′(x) = 20x⁴ + 6x² + 8 > 0 이므로 f(x)는 증가함수이다.
따라서 방정식 4x⁵ + 2x³ + 8x – 10 = 0의 실근의 개수는 1개다.