조르단표준형 & 최소다항식
어떤 nxn행렬 A를 단순하게 표현할때, 고유값분해(EVD)가 가장 직관적이지만 모든행렬이 대각화가 가능하지 않다.
이때 대각화의 일반화로 나온것이 조르단 표준형(Jordan form) 이다.
원서 : Strang, G. (2023). Introduction to Linear Algebra (6th ed.).
1. 조르단 표준형 (Jordan canonical form)
대각화 불가능한 행렬 A와 닮은 행렬이면서 대각행렬에 가장 가까운 행렬이 Jordan 표준형이다. (유사 닮은 행렬이라 생각하면 편하다.)
Jordan 표준형(Jordan canonical form) 만드는 방법은 다음과 같다.
① 행렬 A의 고유치 중 하나를 선택한다.
② 선택한 고유치에 대응하는 기하적 중복도를 구한다.
③ 기하적 중복도만큼 Jordan 블록을 만든다.
④ 서로 다른 고유치에 대해 Jordan 블록을 모두 같은 방법으로 만든다.
⑤ 행렬 A의 Jordan 블록을 n×n 행렬의 주대각선 위에 모두 배치시킨 후 나머지 성분은 모두 0으로 한다
⑥ 완성된 행렬을 행렬 A의 Jordan 표준형이라 하고, 이 Jordan 표준형은 A의 닮은 행렬이 된다.
1.1 Jordan 블록
A의 고유치를 대각원소로 배치시킨 정방행렬.
기하적 중복도에 블록의 개수를 맞추다보면 하나의 블록에 고유치가 여러 개 들어가는 경우가 생기는데, 이때 고유치 위에 반드시 1을 둔다. 나머지 성분은 전부 0으로 두고 이것을 Jordan 블록이라 한다.
예시그림
이해를 위해 다음 행렬 A의 jordan 표준형을 구해보자.
\[\begin{bmatrix} 2 & -1 & 0 & 1 \\ 3 & 1 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 1 & 3 \end{bmatrix}\]A - λI = 0 의 해는 λ = 2, 2, 2, 3 이고
여기서 λ = 3 은 단근이므로 고유벡터 개수 는 1이다.
λ = 2 일 때,
\[A - 2I = \begin{bmatrix} 0 & -1 & 0 & 1 \\ 3 & -1 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & -1 & 0 \\ -1 & 0 & 1 & 1 \end{bmatrix} \sim \begin{bmatrix} 0 & -1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & -1 & 1 \\ 0 & 0 & -1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}\]rank(A-2I) = 2
nullity(A-2I) = 2 → 고유벡터 개수 = 2
Jordan 블록: (3), (2), (2 1), (0 2)
따라서 Jordan 표준형은 다음과 같이 나온다.
\[J = \begin{bmatrix} 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 3 \end{bmatrix}\]2. 최소다항식 (minimal polynomial)
최소다항식(minimal polynimial) 은 행렬(혹은 선형사상)의 가장 간단한 다항식 표현이다.
nxn 행렬 A에 대해 모든 다항식 p(x)에 대해 p(A)를 정의 할 때, p(A) = 0이 되는 nullifying polynimal 중에서, 0이 아닌 다항식 중 가장 차수가 낮은 것을 뜻한다.
그리고 이는 조르단 표준형을 통해 구할 수 있다.
직관적으로 최소다항식은 행렬A를 0 으로 만들어버리는 최소한의 다항식이라 생각하면 편하다. (jordan 블럭의 개수는 알지만 위치를 구하기 힘들때 이를 이용하자.)
만약 고유값 λ에 대한 Jordan 블록 크기가 최대 k라면, 최소다항식에 (x−λ)^k 인자가 들어간다.
예시그림
이해를 위해 문제 몇가지를 풀어보자.
문제 1
다음 행렬 A의 Jordan 표준형을 구해보자.
\[\begin{bmatrix} 2 & 1 & -2 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}\]행렬 A의 특성다항식은 다음과 같다.
\[p(λ)=λ^4−2λ^3+2λ−1\]즉 고유치는 1,1,1,-1 이다. 그리고 nullity(A - I) = 1이므로 고유치 1에 대한 고유벡터는 1개임을 알 수 있다. (고유치 -1은 단근이므로 굳이 nullity 구할 필요 없음)
따라서 jordan 표준형은 다음과 같다.
\[\begin{bmatrix} -1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}\]문제 2
다음 두 행렬 A, B 의 특성다항식(characteristic polynomial)을 각각 fA(x),fB(x), 최소다항식(minimal polynomial)을 각각 mA(x),mB(x)라 하자.
$$ A = \begin{bmatrix} 3 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 3 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 3 \end{bmatrix}, \quad B = \begin{bmatrix} 3 & 0 & 0 & 0 \\ 5 & 3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 3 \end{bmatrix} $$ > a. f_A(x) = f_B(x)
> > b. m_A(x) = m_B(x)
> > c. A와 B는 닮은 행렬(similar matrix)이다.
> > d. f_A(x) = m_B(x)g(x)인 실수 계수 다항식 g(x)가 존재한다.
A의 특성다항식은 다음과 같이 구할 수 있다. $$ \begin{vmatrix} 3-x & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 3-x & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 3-x & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 3-x \end{vmatrix} = (3-x)^4 = 0 $$ 따라서 고유값은 3이고, 이에 해당하는 고유벡터를 구하면 다음과 같다. $$ \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} $$ $$ \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}, \quad \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} $$ 이를 이용해서 조르단 표준형을 구하면 다음과 같다. $$ \begin{bmatrix} 3 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 3 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 3 \end{bmatrix} \quad \text{또는} \quad \begin{bmatrix} 3 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 3 \end{bmatrix} $$ 여기서 문제는 고유벡터의 개수가 2개인 것은 알지만 블럭의 위치에 따라 최소다항식의 차수가 달라진다.
여기서 닮은 행렬의 8가지성질(고유치, 특성다항식 등)이 동일하다는 점으로 구하려고 할 수 있지만, 닮은 행렬은 8가지 성질이 동일하다는거지 8가지 성질이 동일하다고 닮은 행렬이 되는 것은 아니므로 **잘못된 접근** 이다. (역은 성립안한다.)
이런 상황일때는 위에서 언급한 행렬을 0으로 만드는 최소차항을 찾는것이 최선의 방법이다. $$ (A - 3I)^2 = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}^2 = O $$ $$ \begin{bmatrix} 3 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 3 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 3 \end{bmatrix} $$ B도 마찬가지로 구하면 다음과 같다. $$ \begin{vmatrix} 3-x & 0 & 0 & 0 \\ 5 & 3-x & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 3-x & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 3-x \end{vmatrix} = (3-x)^4 = 0 $$ $$ \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 5 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} $$ 여기서 고유치 3에대한 고유벡터는 다음과 같다. $$ \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}, \quad \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}, \quad \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix} $$ 따라서 조르단 표준형은 다음과 같다. $$ \begin{bmatrix} 3 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 3 \end{bmatrix} $$ 이를 통해 옳은 것을 고르면 A와 B의 특성다항식이 동일하므로 a.는 **참** 이다.
또한 최소다항식 또한 (x-3)^2으로 동일하므로 b.도 **참** 이다.
하지만 고유공간의 차원이 A는 2이고, B는 3이므로 닮음이 아니다. 따라서 c.는 **거짓** 이다.
그리고 g(x) = (x-3)^2이 존재하므로 d.도 **참** 이다.