주축정리 (Principal axis theorem)
원서 : Strang, G. (2023). Introduction to Linear Algebra (6th ed.).
1. 주축정리 (printcipal axis theorem)
원뿔곡선 C의 방정식을
\[ax^2 + 2bxy + cy^2 + dx + ey = k\]이라 하고, 다음과 같이 정리하자.
\[ax^2 + 2bxy + cy^2 = (x,y) \begin{pmatrix} a & b \\ b & c \end{pmatrix} \binom{x}{y} = v^T A v\]이때, A는 대칭행렬이므로 직교대각화가 가능하다.
여기서 A를 직교대각화 시키는 직교행렬 P를 생각하고 det(P) = 1이라 하자.
그리고
\[v = P w \iff \binom{x}{y} = P \binom{X}{Y}\]위와 같이 치환하면 방정식
\[ax^2 + 2bxy + cy^2 + dx + ey + f = 0\]은 A의 고유치가 λ1,λ2일 때, 다음과 같이 변환된다.
\[\lambda_1 X^2 + \lambda_2 Y^2 + DX + EY = k\]이 치환은 xy 좌표계와 XY 좌표계 사이의 축회전이며,
좌표계의 주축끼리의 사잇각은 다음과 같다.
또한, 원뿔곡선의 개형은 다음과 같이 행렬식으로 판별할수 있다.
① det(A)>0 : 타원
② det(A)<0 : 쌍곡선
③ det(A)=0 : 포물선
주축정리는 위와 같고 핵심적인 내용들은 다음부분이다.
2. 축회전과 점회전
θ만큼 반시계방향으로 축회전했다는 것은 다시말해 θ만큼 시계방향으로 점을 회전한 것과 같다.
이해를 위해 그림을 참고하자.
이게 생각보다 어떠한 이차형식에서 원래의 모양을 찾을때 시계방향인지 반시계방향인지 헷갈릴 수 있는데 그냥 축회전이든 점회전이든 한개의 기준을 갖고 생각하면 훨씬 수월하다.
시계방향으로 점을 회전했기때문에 회전행렬은 다음과 같다.
\[\begin{pmatrix} \cos\theta & \sin\theta \\ -\sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix} \binom{x}{y} = \binom{X}{Y}\]① 점회전:
\[\begin{pmatrix} C & -S \\ S & C \end{pmatrix} \binom{X}{Y} = \binom{x_0}{y_0}\]② 축회전:
\[\begin{pmatrix} C & S \\ - S & C \end{pmatrix} \binom{x}{y} = \binom{X}{Y}\]이때 회전행렬이 직교이고 양변에 역행렬을 곱해주면 다음과 같다.
\[\binom{x}{y} = \begin{pmatrix} C & S \\ - S & C \end{pmatrix}^{-1} \binom{X}{Y}\]즉, 다음과 같이 표시할수 있고
\[v = Pw\]직교행렬의 역행렬은 전치이므로 다음과 같다.
\[\binom{x}{y} = \begin{pmatrix} C & -S \\ S & \;\;C \end{pmatrix} \binom{X}{Y}\]따라서 축회전의 시계방향은 점회전의 반시계인것을 확인할 수 있다.
3. APPLICATION
개인적으로 주축정리를 이용하는 이유중 하나는 xy같은 변수 2개가있는 이차항 때문이라고 생각한다.
다음과 같은 이차형식이 있다고 할때, xy항때문에 이게 어떤 모양인지 인식하기 힘들다.
\[x^2 + xy + y^2\]만약에 xy항이 없다면 원일텐데 xy항때문에 알 수 없기때문에 이를 해석하는 응용을 해보자.
다음과 같은 이차형식이 있을때
\[ax^2 + 2bxy + cy^2 \;\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\; \text{quadratic form}\]다음과 같이 바꿀 수 있다.
\[(x \;\; y) \begin{pmatrix} a & b \\ b & c \end{pmatrix} \binom{x}{y} \;\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\; v^T A v\]이때 가운데 A는 대칭행렬이다.
그리고 이를 v = pw를 이용해 축회전을 시켜주면 다음과 같다.
\[(Pw)^T A (Pw) \;\;\;\;\; \text{(치환: } v = Pw \text{)}\] \[= w^T P^T A P w\]여기서 직교대각화를 하여 다음과 같이 나온다.
\[w^T D w\]그리고 여기서 D는 고유치를 주대각원소로 같는 행렬이므로 다음과 같이 쓸수있고
\[= (X \;\; Y) \begin{pmatrix} \lambda_1 & 0 \\ 0 & \lambda_2 \end{pmatrix} \binom{X}{Y}\]그럼 다음과 같은 결과를 얻을 수 있다.
\[= \lambda_1 X^2 + \lambda_2 Y^2\]이런 방식으로 xy항을 없애서 원래의 모양을 판별할 수 있다.
만약에 고유치가 둘다 양수면 타원이고 한쪽이 음수이면 쌍곡선이고 한쪽이 0이면 직선이 되는 식이다.
이해를 위해 문제를 몇가지 풀어보자.
첫번째는 직교대각화 문제이다.
문제 1
이차형식 ax2+2bxy+cy2이 kt^2로 직교대각화(orthogonally diagonalized)되기 위한 동치 조건을 구할 때, 상수 k의 값은?
다음과 같이 직교대각화가 되기 위해서는 고유치 하나는 0이 되어야 한다.
따라서 다음과같은 특성다항식에서 다음과 같은 결과를 얻는다.
\[\lambda^2 - (a+c)\lambda + ac - b^2 = \lambda(\lambda - k) = \lambda^2 - k\lambda \;\;\;\;\;\;\;\; \Rightarrow \;\;\;\;\;\;\;\; k = a + c\]문제 2
이차곡면(quadratic surface) 2xy + 2xz = 1을 분류할때 이 곡면의 모양은?
3차원의 이차곡면이지만 2차원이랑 거의 동일하고 이차형식에서 3변수 바꾸는 방법을 기억하면 쉽게 풀지만 막상 곡면의 형태를 모를수도있으니 곡면의 형태도 숙지하자.
다음행렬의 고유방정식은 다음과 같다
\[\lambda (\lambda + \sqrt{2})(\lambda - \sqrt{2}) = 0\]따라서 고유값은 다음과 같다.
\[\sqrt{2}, \; -\sqrt{2}, \; 0\]주축정리에 의해 다음과 같이 정리되고 따라서 주어진 이차곡면은 쌍곡선기둥이다.
\[\sqrt{2}(x')^2 - \sqrt{2}(y')^2 = 1 \;\;\;\Longleftrightarrow\;\;\; (x')^2 - (y')^2 = \frac{1}{\sqrt{2}}\]참고
쌍곡선기둥의 모양은 부족하지만 다음을 참고하자
문제3
이차형식 x^2+4xz+2y^2+z^2을 직교대각화(orthogonal diagonalization)하면, a1X^2+a2Y^2+a3Z^2이다. 이때, Z=αx+βy+γz 이면 α+β+γ 의 값은?
(단, a1<a2<a3)
주축정리를 이용해서 천천히 전개하며 풀어보자
문제의 이차형식을 정리하면 다음과 같다.
\[x^2 + 4xz + 2y^2 + z^2 = (x \; y \; z) \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 2 & 0 \\ 2 & 0 & 1 \end{pmatrix} \binom{x}{y}{z} = v^T A v\]이를 직교대각화하면 다음과 같이 나온다
\[(X \; Y \; Z) \begin{pmatrix} -1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{pmatrix} \binom{X}{Y}{Z}\]그럼 고유치 -1, 2, 3 에 대응하는 각각의 고유벡터를 구하면 다음과 같이 나온다.
\[v_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix}, \quad v_2 = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}, \quad v_3 = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}\]따라서
\[P = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & 0 & \frac{1}{\sqrt{2}} \\ 0 & 1 & 0 \\ -\frac{1}{\sqrt{2}} & 0 & \frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix}\]이므로 양의 y축방향의 회전임을 알 수 있고 다음과 같이 정리할 수 있다.
\[\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & 0 & \frac{1}{\sqrt{2}} \\ 0 & 1 & 0 \\ -\frac{1}{\sqrt{2}} & 0 & \frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} X \\ Y \\ Z \end{pmatrix} \;\;\;\;\;\;\Rightarrow\;\;\;\;\;\; \begin{pmatrix} X \\ Y \\ Z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & 0 & -\frac{1}{\sqrt{2}} \\ 0 & 1 & 0 \\ \frac{1}{\sqrt{2}} & 0 & \frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}\]즉
\[Z = \frac{1}{\sqrt{2}}x + \frac{1}{\sqrt{2}}z\] \[\alpha + \beta + \gamma = \sqrt{2}.\]문제4
선형사상 T:R3→R3 은 직선 x=−y=z를 중심으로 120∘ 회전하는 사상이다.
T(1,2,3)=(a,b,c)라 할 때, a+2b+3c의 값은?
직선에 대한 회전이므로 앞서 언급한 로드리게스 회전변환 공식을 사용해서 풀어야 한다.
직선의 방향벡터를 구하면 다음과 같다.
\[\vec{v} = \frac{1}{\sqrt{3}} (1, -1, 1), \quad \theta = \frac{2}{3}\pi\]그리고 이에 대한 회전행렬은 다음과 같다. (로드리게스 회전변환 공식 사용)
\[\begin{pmatrix} a^2 + (1-a^2)\cos\theta & ab(1-\cos\theta) - c\sin\theta & ac(1-\cos\theta) + b\sin\theta \\ ab(1-\cos\theta) + c\sin\theta & b^2 + (1-b^2)\cos\theta & bc(1-\cos\theta) - a\sin\theta \\ ac(1-\cos\theta) - b\sin\theta & bc(1-\cos\theta) + a\sin\theta & c^2 + (1-c^2)\cos\theta \end{pmatrix}\]이를 계산하면 다음과 같이나온다
\[\begin{pmatrix} 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}\]즉
\[T(1,2,3) = (-2,-3,1)\] \[a + 2b + 3c = -5\]문제5
| 입체 S = { (x, y, z) | 3x^2 - 2xy + 3y^2 + 8z^2 ≤ 16 } 의 부피는? |
이차형식을 정리하면 다음과 같다.
\[3x^2 - 2xy + 3y^2 + 8z^2 = [ \; x \; y \; z \; ] \begin{pmatrix} 3 & -1 & 0 \\ -1 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 8 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}\]따라서
\[(8 - \lambda)(\lambda - 2)(\lambda - 4) = 0\]각 고유치에 대응하는 고유벡터는 다음과 같다
\[\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}, \quad \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix}, \quad \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}\]주축정리에 의해
\[[x \; y \; z] \begin{pmatrix} 3 & -1 & 0 \\ -1 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 8 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} \leq 16 \;\;\;\;\;\;\Rightarrow\;\;\;\;\;\; [u \; v \; w] \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 4 & 0 \\ 0 & 0 & 8 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} u \\ v \\ w \end{pmatrix} \leq 16\]여기서 문제에서 부피라고 말하긴했지만 만약 부피를 언급하지 않고 <=이면 부피지만, =로 해당하면 내부는 포함안하므로 겉넓이다.
\[2u^2 + 4v^2 + 8w^2 \leq 16\]타원구형태가 나오므로 타원구 부피공식을 사용하면 풀린다.
참고로 타원구 부피공식은 3파이/4 * abc 이다.
답은 32pi/3나온다.