사영변환과 대칭(반사)변환
선형대수의 끝부분에 가까워지고 있다. 이부부은 공식보다는 그림을 함께 보면서 이해하는것이 훨씬 쉽다.
원서 : Strang, G. (2023). Introduction to Linear Algebra (6th ed.).
1. 표준행렬을 이용한 넓이 또는 부피
벡터공간 Rn에서의 선형변환 T:V→W을 이용해서 도형에 대한 선형변환은 변환 T에 해당하는 표준행렬 A의 행렬식의 도형의 크기를 결정한다.
① 선형변환 T:R2→R2 의 표준행렬을 2×2 행렬 A라 하며, S가 T의 정의역에 해당하는 부분집합이면 T(S)의 넓이 는 다음과 같이 성립한다.
\(T(S)\text{의 넓이} = |\det A| \times S\text{의 넓이}\)
② 선형변환 T:R3→R3 의 표준행렬을 3×3 행렬 A라 하며, S가 T의 정의역에 해당하는 부분집합이면 T(S)의 부피 는 다음과 같이 성립한다.
\(T(S)\text{의 부피} = |\det A| \times S\text{의 부피}\)
선형변환의 넓이나 부피 변화가 행렬식의 절댓값으로 결정된다는 사실은 사실 다변수 미적분학에서 더 일반적인 형태인 Jacobian matrix 로 다뤄진다.
위 내용은 Jacobian 이론의 2차원(넓이) 와 3차원 (부피) 특수한 경우이고 보다 깊이 있는 이해는 다변수미적분학에서의 Jacobian matrix 증명을 참고하자.
참고
Linear Transform에서 선과 도형의 형태 유지
선형변환은 입력 벡터 공간의 구조를 보존한다.
① 직선(Line)
선형변환 T(x)=Ax에서 직선은 항상 직선으로 보존된다.
② 평면 도형(shape)
평면도형 또한 직선성이 유지되어 각도와 길이 비율은 달라질수있지만 큰 모양은 유지된다.
ex) 삼각형 → 삼각형 , 원(타원) → 원(타원), 사각형 → 사각형
2. 사영변환 (Projection Transformation)
사영변환 표준행렬
① 변환 R2
x축 위로의 사영
\[\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}\]y축 위로의 사영
\[\begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}\]이해를 위해 부족하지만 그림을 참고하자.
양의 방향의 x축과의 각이 θ만큼 되는 원점을 지나는 직선 위에 수직으로 사영
\[\begin{bmatrix} \cos^2 \theta & \sin \theta \cos \theta \\ \sin \theta \cos \theta & \sin^2 \theta \end{bmatrix}\]② 변환 R3
xy평면 위로의 사영
\[\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}\]xz평면 위로의 사영
\[\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}\]yz평면 위로의 사영
\[\begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}\]2.1 최소제곱해를 이용한 사영변환 표준행렬
부분공간 W의 기저를 B={w1,w2,…,wn}이라 하고, 행렬 S=[w1,w2,…,wn]을 열벡터로 하는 행렬일 때, 사영변환 표준행렬은 다음과 같다.
따라서
\[\text{Proj}_W u = P u\]이 내용은 사실 최소제곱해의 기하학적 해석에서 이미 다루었던 부분과 연결되니 참고하자.
참고
직교여공간이 1차원인 벡터공간으로의 사영변환 표준행렬
벡터공간 W의 직교여공간 기저가 n일 때, W로의 사영변환 표준행렬은 다음과 같다.
\[P = I - \frac{1}{n^T n} nn^T\]Theorem
사영변환 표준행렬 P의 성질
P는 대칭행렬이다.
P^n=P (n은 양의 정수)
det(P)=0 또는 1
tr(P)=rank(A)
P의 고유치는 0 또는 1
고유치 부분을 많이 써먹으니 기억하자. 그림을 보면 이해하기 쉽다.
3. 대칭(반사)변환 (Reflection Transformation)
형태는 사영변환과 거의 비슷하지만 반사이기 때문에 음의 부호를 유의하자.
대칭변환 표준행렬
① 변환 R2
x축에 대한 반사
\[\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{bmatrix}\]y축에 대한 반사
\[\begin{bmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}\]양의 방향의 x축과의 각이 θ만큼 되고 원점을 지나는 직선을 축으로 반사
\[\begin{bmatrix} \cos 2\theta & \sin 2\theta \\ \sin 2\theta & -\cos 2\theta \end{bmatrix}\]② 변환 R3
xy평면에 대한 반사
\[\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{bmatrix}\]xz평면에 대한 반사
\[\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}\]yz평면에 대한 반사
\[\begin{bmatrix} -1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}\]참고
직교여공간이 1차원인 벡터공간에 대한 대칭(반사)변환의 표준행렬
벡터공간 W의 직교여공간 기저가 n일 때, W로의 대칭(반사)변환의 표준행렬은 다음과 같다.
\[Q = I - \frac{2}{n^T n} nn^T\]여기서 사영행렬가 달리 분자가 2인데 그림을 보면 이해하기 쉽다. 그리고 직교 여공간이 1차원일때만 적용가능한 식임을 유의하자.
Theorem
반사변환 표준행렬 Q의 성질, 단 직교여공간이 1차원일 때 다음이 성립한다.
Q는 대칭행렬
Q는 직교행렬
det(Q)=−1
rank(Q−I)=2 (단, 전체공간 차원 = n)
Q의 고유치는 1 또는 −1
사영변환과 마찬가지로 Q의 고유치 성질을 많이 사용하니 기억하자.