행렬(matrix)
원서 : Strang, G. (2023). Introduction to Linear Algebra (6th ed.).
1. 행렬의 정의
여러 개의 수 또는 문자를 직사각형 모양으로 배열하고 괄호로 묶은 것을 행렬이라고 한다.
\[I_3 = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}\] \[I_3 = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}\] \[D = \begin{bmatrix} 5 & 0 & 0 \\ 0 & -3 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{bmatrix}\]이때, 행렬의 가로줄은 행(row), 세로줄은 열(row) 이라고 하고 행렬을 이루는 각각의 수 또는 문자를 성분 또는 원소(element)** 라 한다.
m행과 n열을 갖는 행렬은 m x n크기를 갖는다고 하며 행의 수를 항상 먼저 쓴다.
m행과 n열을 갖는 임의의 행렬 A에 대하여 성분들의 위치는 아래와 같이 나타내여 표시한다.
\[A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{bmatrix}\]이때 행의 개수와 열의 개수가 같은 행렬을 n차 정사각행렬(정방행렬, Square matrix) 라고 하고 성분 a11,a22, …, ann은 행렬의 주대각선을 이룬다고 한다.
① 단위행렬(Identity matrix)
주대각선의 원소 의외 원소들이 모두 0인 경우 대각행렬(Diagonal matrix) 이라 하고 특히 주대각선의 원소들이 모두 1인 경우의 행렬을 단위 행렬이라 하며 I 또는 E로 나타낸다
\[I_3 = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}\]Properties of Identity matrix
\[AI = A \quad \text{and} \quad IA = A\] \[I^n = I\]② 영행렬(Zero matrix)
모든 원소들이 모두 0인 경우를 영행렬(Zero matrix) 이라 하며 O로 나타낸다
\[O_{3\times 3} = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}\]Properties of Zero matrix
\[AO = O \quad \text and \quad \text A+O = A\]2. 행렬의 연산
① 행렬의 합과 차
행렬 A와 B가 같은 행렬이면, 합(sum) A + B은 B의 성분에 대응하는 A의 성분에 더하여 얻는 행렬이다.
또한, 차(difference) A - B은 B의 성분을 대응하는 A의 성분으로부터 빼서 얻는 행렬이다.
② Scalar 곱
행렬 A와 스칼라 c에 대해서 곱(product) cA는 A의 각 성분에 c를 곱하여 얻는 행렬이다.
③ 행렬의 곱셈
행렬 A=(aij)와 B=(bij) 이라고 할때, 행렬 AB는 행렬 A의 열과 B의 행 개수가 같아야 정의되며 행렬의 크기는 m행 n열이다.
\[(AB)_{ij} = a_{i1}b_{1j} + a_{i2}b_{2j} + \cdots + a_{in}b_{nj}, \quad 1 \leq i \leq m, \; 1 \leq j \leq p\]④ 행렬의 지수법칙
\[A^n = \overbrace{AA \cdots A}^{n}\] \[A^nA^b=A^mA^n=A^{n+m}\]3. 전치행렬 및 대각합
① 전치행렬(Transposed matrix)
A가 임의의 mxn 행렬일때 A의 전치행렬을 $A^t$ 또는 $A^T$ 로 표시하고 행과 열을 교환하여 얻어진 nxm 행렬로 정의 한다.
Properties of Transposed matrix
\[(A^T)^T = A\] \[(A±B)^T = A^T ± B^T\] \[(kA)^T = kA^T\] \[(AB)^T = B^TA^T\]② 대각합(Trace)
정사각행렬(Square matrix) A의 대각합(trace)sms A의 주대각원소의 합으로 정의하고 $trA$로 나타낸다.
Properties of Trace
\[tr(A)=tr(A^T) \quad and \quad tr(AB) = tr(BA)\] \[tr(A+B) = tr(A) + tr(B) \quad and\quad tr(kA) = ktr(A) \quad i.e.\ Linearity\]4. 행렬의 종류
① 대칭행렬(Symmetric matrix)
A=(aij)일때, $A^T = A$를 만족하는 행렬 A를 대칭행렬(Symmetric metrix)이라 한다.
즉, 대각의 원소를 중심으로 위쪽과 아래쪽이 같은 원소를 갖는 행렬이다.
\[A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 4 & 5 \\ 3 & 5 & 6 \end{bmatrix}, \quad A^T = A\]② 교대(반대칭)행렬(Skew-symmetric matrix)
A=(aij)일때, $A^T = -A$를 만족하는 행렬 A를 교대행렬(Skew-symmetric metrix)이라 한다.
즉, 주대각원소는 모두 0이며, 주대각원소를 중심으로 위쪽과 아래쪽의 원소가 부호만 반대인 행렬이다.
\[B = \begin{bmatrix} 0 & 2 & -3 \\ -2 & 0 & 4 \\ 3 & -4 & 0 \end{bmatrix}, \quad B^T = -B\]이때, 임의의(모든) 정방행렬 A는 항상 대칭행렬과 교대행렬의 합으로 나타낼 수 있다.
③ 직교행렬(Orthogonal matrix)
A=(aij)일때, $A^TA=AA^T=I$을 만족하는 행렬 A를 직교행렬(Orthogonal matrix)이라 한다.
또한 행렬의 A의 모든 행 또는 열벡터의 크기가 1이며, 모든 행또는 열벡터가 서로 수직관계를 가지면 직교행렬이라고 한다.
A가 정방행렬이면 다음은 동치이다
A는 직교행렬이다
임의의 벡터 $u,v$에 대하여 $(Au)·(Au)=u·v$이다.
임의의 벡터 $u$에 대하여 $∥Au∥ = ∥u∥$이다.
5. 행렬의 대표 명제
A, B가 정방행렬이고 O가 영행렬일때,
AB = BA (항상 성립하지 않음)
$(AB)^2 = A^2B^2$(항상 성립하지 않음)
A가 영행렬이 아닐때 AB=AC이면 B=C이다 (항상 성립하지 않음)
AB = O이면 A또는 B는 영행렬이다 (항상 성립하지 않음)
$(A+B)(A-B) = A^2 - B^2$이다 (항상 성립하지 않음)
$(A±B)^2 = A^2±2AB±B^2$ (항상 성립하지 않음)