행렬식(Determinant)
원서 : Strang, G. (2023). Introduction to Linear Algebra (6th ed.).
1. 행렬식의 정의
nxn의 행렬식 A의 행렬식은 Determinant라고 읽으며 detA 또는 ∣A∣로 나타낸다.
2×2 행렬
\[A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}\]2x2 A 의 det은 다음과 같이 나타낸다.
\[\det(A) = |A| = ad - bc\]3x3 행렬
\[A = \begin{bmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{bmatrix}\]3x3 A의 det은 다음과 같이 나타낸다.
\[\det(A) = |A| = a(ei + dhc + bfg) - (ceg + bdi + fha)\]nxn 행렬
nxn행렬 A의 행렬식은 라플라스 전개로 구한다
라플라스 전개란 임의의 하나의 행이나 열을 택하여 각 원소와 그 원소의 여인수를 곱하여 모두 합한다.
여인수란 선택한 원소가 위치한 행과 열의 원소들을 제외한 나머지 원소들의 행렬식을 의미한다.
또한 각 원소의 부호는 ((-1)^{i+j})이다.
예를 들어, ( i )행에 관한 라플라스 전개로 행렬식을 구하면 다음과 같다.
\[\det A = |A| = \sum_{j=1}^{n} a_{ij} C_{ij}\]이 때, ( a_{ij} )는 행렬 ( A )의 원소이며,
\[C_{ij} = (-1)^{i+j} M_{ij}\]를 ( a_{ij} )의 여인수라고 한다.
또한 ( M_{ij} )는 원소 ( a_{ij} )를 포함하는 ( i )행과 ( j )열을 소거하여 얻은 여인수 행렬의 행렬식을 의미한다.
Properties of Determinant
① 두 개의 행(또는 열)을 바꾸면, 행렬식 값은 부호만 바뀐다.
② 하나의 행(또는 열)에 실수를 곱하여 다른 행 (또는 열)에 더하거나 빼도, 행렬식의 값은 변하지 않는다.
③ 두개의 행(또는 열)이 비례관계이면 det은 항상 0이다.
④ 하나의 행(또는 열)에 공통인수는 행렬식 밖으로 끌어낼 수 있다.
⑤ det(kA) = k^ndet(A) (단, A는 정방행렬, k는 상수)
⑥ det(AB) = det(A)det(B)
⑦ det(A^n)=(detA)^n
⑧ det(A) = det(A^T)
2. 여러가지 행렬식
① 블록행렬의 행렬식
\[\begin{bmatrix} A & O \\ O & B \end{bmatrix} \quad \Rightarrow \quad \det = \det(A) \cdot \det(B)\]② 방데르몽드 행렬식
\[V = \begin{bmatrix} 1 & x_1 & x_1^2 & \cdots & x_1^{n-1} \\ 1 & x_2 & x_2^2 & \cdots & x_2^{n-1} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 1 & x_n & x_n^2 & \cdots & x_n^{n-1} \end{bmatrix}\]스칼라 삼중적
① 스칼라 삼중적
a,b 와 c를 3차원 공간의 벡터라 할때, 다음을 a,b와 c의 스칼라 삼중적이라 한다.
\[\mathbf{a} \cdot (\mathbf{b} \times \mathbf{c})\]이 스칼라 삼중적은 외적의 정의와 내적의 정의에 의해 다음과 같이 행렬식으로 정의할 수 있다.
\[\det \begin{bmatrix} a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \\ c_1 & c_2 & c_3 \end{bmatrix}\]② 기하학적 의미
스칼라 삼중적은 a,b와 c가 만드는 평행육면체의 부피와 같다.
스칼라삼중적의 1/6은 사면체의 부피와 같다.