역행렬(Inverse matrix)
원서 : Strang, G. (2023). Introduction to Linear Algebra (6th ed.).
1. 역행렬(Inverse matrix)
① 역행렬의 정의
정사각행렬 A에 대해 AB = BA = I를 만족하는 행렬 B가 존재하면, A를 가역행렬(invertible matrix) 또는 정칙행렬(nonsingular matrix) 이라 한다. 이때 B는 A의 역행렬이며, 다음과 같이 표기한다.
n×n 행렬 A가 가역행렬이면, A^-1은 다음과 같다
\[A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \, adj(A)\]여기서 adj(A) 는 A의 수반행렬(adjugate matrix) 이며,
n×n 행렬 A의 각 원소의 여인수를 구한 후 같은 위치에 위치시킨 다음 전치시킨 행렬이다.
2x2 이고 가역행렬인 A의 역행렬은 다음과 같다.
\[A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix}\]Properties of Inverse matrix
A, B, C는 n×n 가역행렬이고 k는 0이 아닌 스칼라일 때 다음과 같은 성질이 성립한다.
\[(AB)^{-1} = B^{-1} A^{-1}\] \[(A^n)^{-1} = (A^{-1})^n\] \[|A|^{-1} = \frac{1}{|A|}\] \[\mathrm{tr}(A \, \mathrm{adj} \, A) = \mathrm{tr}(|A| I) = n|A|\] \[|\mathrm{adj}(\mathrm{adj} \, A)| = |A|^{(n-1)^2}\]마지막 성질에서 adj가 붙을수록 (n-1)의 차수가 늘어나는 것을 참고하자.
② 기본행렬 (Elementary Matrix)
기본행렬은 단위행렬에 기본 행 연산을 한 번 적용하여 얻은 행렬이다.
Properties of Elementary matrix
임의의 행렬 왼쪽에 기본행렬을 곱하면 기본 행 연산이 수행된다
기본행렬은 가역행렬이며, 그 역행렬 또한 기본행렬이다.
③ 행동치 (Row Equivalent)
행동치 는 유한 번의 기본 행 연산을 실행하여 얻을 수 있는 행렬들을 말한다.
정방행렬 A가 가역행렬이면, 정방행렬 A와 단위행렬은 행동치 행렬이다
2. Cramer의 법칙
AX=B 형태의 연립 1차 방정식에서, 행렬 A가 det(A)=0인 n×n 행렬일 때 해는 다음과 같이 구할 수 있다.
\[x_1 = \frac{\det(A_1)}{\det(A)}, \quad x_2 = \frac{\det(A_2)}{\det(A)}, \quad \cdots, \quad x_n = \frac{\det(A_n)}{\det(A)}\]Aj는 A의 j번째 열을 B 벡터로 대체한 행렬이다. 만약 정방행렬이 아닌 경우, 기본 행 연산을 사용하여 xi의 해를 구할 수 있다.
3. LU 분해(LU Decomposition)
LU 분해는 행렬을
하삼각행렬(lower triangular matrix) L과 상삼각행렬(upper triangular matrix) U의 곱 A=LU로 나타내는 수치해석학 기술이다.
구하는 과정이 매우 복잡하나, 이 방법은 컴퓨터가 연립 1차 방정식 문제를 풀거나, 역행렬과 행렬식을 구할 때 사용된다.
행교환 없이 아래로 기본행연산을 유한번 하여 행렬 A가 상삼각행렬이 된다고 하면 다음과 같다.
\[E_n E_{n-1} \cdots E_1 A = U\]그러고 다음과 같은 결과로 이어진다.
\[A = (E_n E_{n-1} \cdots E_1)^{-1} U = L U\] \[L = (E_n E_{n-1} \cdots E_1)^{-1}\]