행렬의 계수(Rank) 및 연립방정식
원서 : Strang, G. (2023). Introduction to Linear Algebra (6th ed.).
1. 기본 행 연산
연립 1차 방정식을 동일한 해를 갖는 다른 연립 1차 방정식으로 바꾸는 것을 기본 변환이라고 한다.
이 변환은 변수를 소거하여 연립 방정식을 푸는 데 사용된다. 기본 행 연산 도 이와 같은 변환이다
① 기본 변환
두 방정식을 바꾼다.
한 방정식의 양변에 0이 아닌 상수를 곱한다.
한 방정식의 상수배를 다른 방정식에 더한다.
② 기본 행 연산
행렬의 두 행을 바꾼다.
한 행의 원소에 0이 아닌 상수를 곱한다.
한 행의 원소들의 상수배를 상응하는 다른 행의 원소들에 더한다.
2. 행렬의 계수 (Rank)
m×n 행렬 A에서 임의로 r개의 행과 r개의 열을 택하여 만든 r차 정방행렬의 행렬식을 A의 r차 소행렬식이라고 한다.
r차 소행렬식 중 0이 아닌 것이 적어도 하나 존재하고, (r+1)차 소행렬식의 값은 모두 0일 때, r을 A의 계수(rank) 라고 하며 rankA=r로 나타낸다.
여기서 기본행 연산에 의해 행렬이 기약행 사다리꼴 행렬로 변형되면 rank를 쉽게 구할 수 있다.
기약행 사다리꼴 행렬
다음 조건들을 만족하는 행렬을 기약행 사다리꼴 행렬(reduced row echelon form matrix) 이라고 한다.
전부 0으로 이루어진 행은 행렬의 아랫부분에 모여 있다.
각 행에서 0이 아닌 첫 번째 원소는 1이며, 이 원소를 선두 1이라고 한다.
첫 행 이후의 각 행의 선두 1은 앞 행의 선두 1보다 오른쪽에 위치한다.
선두 1을 포함하는 열의 다른 원소들은 모두 0이다.
여기서 1~3 조건을 만족하는 행렬은 행 사다리꼴 행렬(row echelon form matrix) 이라고 한다.
행렬의 계수(rank)는 기약행 사다리꼴 또는 행 사다리꼴 행렬에서 선행 1의 개수와 같다.
2-1 Rank에 대한 항등식과 부등식
행렬 A,B,C 에 대한 항등식과 부등식은 다음과 같다.
이해를 위해 몇가지 예제를 풀어보자.
모든 성분이 0인 6x3행렬을 O라 하자. 영행렬이 아닌 6x3행렬 A에 대해 다음을 만족할때 rank(A)를 구하면?
위 부등식중 실베스터부등식을 이용하면 쉽게 풀 수 있다.
이므로
\[0 \ ≥ \ rankA+2−3\]여기서 A는 영행렬이 아니므로 1 보다 작을수 없으므로, rank(A) = 1이다.
3. 일차 연립방정식과 Rank
n개의 미지수를 갖는 m개의 일차 연립방정식은 다음과 같이 나타낼 수 있다.
\[a 11 x 1 +a 12 x 2 +⋯+a 1n x n =b 1\]\(a 21 x 1 +a 22 x 2 +⋯+a 2n x n =b 2\)$$ a m1 x 1 +a m2 x 2 +⋯+a mn x n =b m
$$
위의 연립방정식은 행렬로 다음과 같이 표현할 수 있다
\(AX=B\)
\(A =
\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1m} \\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2m} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn}
\end{pmatrix}
(계수행렬)\)
\(X =
\begin{pmatrix}
x_{1} \\
x_{2} \\
\vdots \\
x_{n}
\end{pmatrix}\)
\(B =
\begin{pmatrix}
b_{1} \\
\vdots \\
b_{n}
\end{pmatrix}\)
그리고, 계수행렬 A와 벡터 B를 합친 행렬을 확대행렬(augmented matrix) 이라 하며 (A/B) 로 표기한다.
3-1 일차 연립방정식의 해와 계수와의 관계
미지수가 n개인 일차 연립방정식은 유일한 해, 무수히 많은 해, 또는 해가 존재하지 않는 세 가지 경우를 갖는다.
\(rankA<rank(A∣B) \ 이면 \ 해가 \ 존재하지 \ 않는다.\) \(rankA=rank(A∣B)=n \ 이면 \ 오직 \ 하나의 \ 해가 \ 존재한다.\) \(rankA=rank(A∣B)<n \ 이면 \ 무수히 \ 많은 \ 해를 \ 갖는다.\)
여기서 몇가지 추가로 정리해 보자.
\[AX= B\]① 동차형(Homogeneous)
B = 0 이면 자명한 해만 갖거나 자명한 해 외 해가 존재한다
② 비동차(Non-homogeneous)
B != 0 이면 해가 없거나 해가 1개이거나 해가 무수히 많다.
즉, 동차형에서는 해가 존재한다.
Theoem
이해를 위해 예제를 풀어보자.
연립방정식 x + 2y + z = 4, 2x - y + z = 9, -x + y + 2z = 5
의 해가 x = a, y = b, z = c일 때, a^2 + b^2 + c^2의 값은?
기본 행 연산을 이용하면 다음과 같이 나온다.
\[\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 1 & 4 \end{pmatrix}\]따라서 각각 제곱해서 더하면 21이 나온다.