벡터공간(Vector Space)
원서 : Strang, G. (2023). Introduction to Linear Algebra (6th ed.).
1. 공간 (Space)
집합 V의 임의의 원소 u,v와 임의의 스칼라 k에 대하여 다음 두 조건을 만족할 때, 집합 V를 공간(Space) 이라고 한다.
\(u+v∈V\) \(ku∈V\)
2. 벡터공간(Vector Space)
공간 V의 임의의 원소 u,v,w와 임의의 스칼라 k,l에 대하여 다음 8가지 조건을 모두 만족할 때, 공간 V를 벡터공간(vector space) 이라 하고, V의 원소를 벡터(vector) 라고 부른다.
① (u+v)+w=u+(v+w) (결합법칙)
② u+0=u를 만족하는 영벡터 0∈V가 존재한다 (항등원)
③ u+(−u)=0을 만족하는 역벡터 −u∈V가 존재한다 (역원)
④ u+v=v+u (교환법칙)
⑤ k(u+v)=ku+kv (분배법칙)
⑥ (k+l)u=ku+lu (분배법칙)
⑦ (kl)u=k(lu) (결합법칙)
⑧ 1u=u
여기서 공간은 원점을 포함하고 있다고 생각하면 편하다
대표적인 벡터공간
다음의 집합들은 모두 벡터공간을 이루는 대표적인 집합이다.
행렬공간
\[M_{n \times m} = \left\{ \begin{pmatrix} a_{11} & \cdots & a_{1m} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & \cdots & a_{nm} \end{pmatrix} \right\}\]유클리드 공간
\[\mathbb{R}^n = \{ (a_1, a_2, \dots, a_n) \}\]다항식 공간
\[P_n = \{ a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + \cdots + a_n x^n \}\]3. 부분공간 (Subspace)
벡터공간 V에 포함된 부분집합 W가 다음 두 조건을 만족하면 부분공간(subspace) 이라고 한다.
\(u,v∈W⇒u+v∈W\) \(u∈W,k∈R⇒ku∈W\)
Theorem
영벡터 {0}은 벡터공간의 정의를 만족한다.
{0}을 제외한 임의의 벡터공간 V는 적어도 서로 다른 두 개의 부분공간을 갖는다
R3의 부분공간은 {0}, 원점을 지나는 모든 직선, 원점을 지나는 모든 평면, 그리고 R3 자체이다.
공간에 대한 개념을 이해하기 위해 몇가지 예를 보자.
**<보기>에서 벡터공간을 모두 고르면?**
가. 3차 다항식의 집합
나. 연속함수 f: R->R의 집합
다. 미분가능하고 도함수가 불연속인 함수 f:R->R의 집합
라. 최댓값이 1보다 작은 함수 f:R->R의 집합
가. 3차 다항식의 집합이므로 f(x) = 0이 존재하지 않는다.
나. 연속함수이므로 덧셈에 대해 닫혀있으며, 스칼라배에서도 (k연속 = 연속) 닫혀있으므로 벡터공간이다.
다. 미분가능하고 도함수가 불연속인 함수에는 f(x) = 0이 존재하지 않는다.
라. 최대값이 1보다 작은 함수에서는 덧셈에 대해 닫혀있지않다. (1/2 + 2/3 > 1)
따라서 벡터공간이 될 수 있는것은 나. 뿐이다.
**<보기>에서 옳은 것을 고르면?**
가. 4x4 행렬 A가 가역이고 B = (detA)A^-1일때, det(A^3) = detB이다.
나. 5x5 행렬 A가 A=-A^T를 만족할때 detA = 0이다.
다. W1,W2,W3가 벡터공간 V의 부분공간일때 (W1+W2)∩W3 = (W1∩W3) + (W2∩W3)이다.
가. det(B) = det(det(A)A^-1) = detA^4 det(A)^-1(4x4행렬이고 det는 스칼라이므로 제곱으로 앞으로 내보낸다) = det(A)^3 (참)
나. 홀수 차수 교대행렬의 행렬식은 0이다. (참)
다. (거짓) 반례 참고
4. 합공간과 직합
① 합공간
합집합 구하듯이 생각하면 이해하기 쉽다. (합집합이라는 것은 아니다. 수식만 비슷하다.)
② 직합
아래와 같은 조건일때 U와 W를 직합이라고 한다.
\[U \cap W = \{\mathbf{0}\}\]이 경우 아래와 같이 표기한다.
\[V = U \oplus W\]
5. 일차결합 (Linear Combination)
벡터공간 V의 원소 v1,v2,…,vn에 대하여 임의의 실수 a1,a2,…,an이 있을 때, a1v1+a2v2+⋯+anvn을 v1,v2,…,vn의 일차결합이라고 한다.
Note
{v1,v2,v3,….,vn}이 일차종속이면 v1, v2, …, vn중 적당한 vk는 나머지의 일차결합이다.
여기서 적당한은 가능하지만 임의의(모든) 에서는 성립하지 않는다.
명제에서 적당한은 존재함을 의미하고 임의의는 모든 것을 의미한다.
6. 벡터공간을 생성 (Span)
V의 부분집합 {v_1, v_2, …, v_n}이 V를 생성(span)한다는 것은 V의 모든 벡터 v가 v1,…,vn의 일차결합으로 표현될 수 있다는 것을 의미한다. 즉, v=a1v1+a2v2+⋯+anvn이 성립하는 실수 a1,…,an이 존재한다.
-
예시: <(1,0),(1,3)>=R2 이다.
R2의 임의의 벡터 v=(x,y)를 (x,y)=(x-y/3)(1,0)+(y/3)(1,3)으로 나타낼 수 있기 때문이다.
-
예시:
<(1,1),(2,2)>!= R2 이다.
R2의 임의의 벡터 v=(x,y)를 (x,y)=a_1(1,1)+a_2(2,2)로 나타내려 할 때, 연립방정식 a_1+2a_2=x , a_1+2a_2=y 에서 x=y인 경우 이 조건을 만족하는 실수 a1,a2를 찾을 수 없으므로 모순이 발생하기 때문이다.
7. 일차(선형) 독립(Linear Independent)과 일차(선형) 종속(Linear Dependent)
벡터공간 V의 부분집합 ${v_1, v_2, \ldots, v_n}$과 임의의 실수 a1,a2,…,an에 대하여, 일차결합 a1v1+a2v2+⋯+anvn=0일 때,
만약 a1=a2=⋯=an=0이어야만 한다면, ${v_1, v_2, \ldots, v_n}$은 일차(선형) 독립(Linear independence)이라고 한다.
만약 a1,a2,…,an 중에 적어도 하나가 0이 아닌 것이 존재한다면, ${v_1, v_2, \ldots, v_n}$은 일차(선형) 종속(Linear dependence)이라고 한다.
Theorem
선형독립인 경우 det(A) != 0이다. 반대로 종속인 경우에는 0이다.
마찬가지로 독립과 종속에 대한 개념을 이해하기 위해 몇가지 예를 보자.
V = {log2x, log5x, log10x}
위와 같은 공간은, det 0의 여부, 덧셈과 실수배에 닫혀있는지 쉽게 확인하기 힘들기 때문에 로그 밑 변환 공식을 사용해보자.
log2x = lnx/ln2, log5x = lnx/ln5, log10x = lnx/ln10 즉, 서로 실수배 이므로 선형 종속이다.
V = {x^2 + 1, lx^2 + 0.1, x^2 + 0.01}
이도 마찬가지로 det 0의 여부, 덧셈과 실수배에 닫혀있는지 쉽게 확인하기 힘들다. 2가지 방법으로 풀어보자.
① Wronskian
Wronskian 정의
세 함수 f1,f2,f3의 Wronskian은 다음과 같이 정의한다.
\[W(f_1, f_2, f_3)(x) = \begin{vmatrix} f_1 & f_2 & f_3 \\ f_1' & f_2' & f_3' \\ f_1'' & f_2'' & f_3'' \end{vmatrix}\]이를 위에 공간에 적용해보자.
이와 같이 나오고 이것의 det를 계산하면 0이 나오므로 종속이다.
② 계수행렬
아직 서술하지 않았지만 Wronskian없이 (x2 계수,x 계수,상수항)을 기저(basis) 로 삼아 계수행렬로 정의하면 쉽게 알수있다.
다항식 공간 P2에서
\(x 2 +1→(1,0,1)\) \(x 2 +0.1→(1,0,0.1)\) \(x 2 +0.01→(1,0,0.01)\)
이와같이 나오고 이는 다음과 같다
\[A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0.1 & 0.01 \end{pmatrix}\]그리고 이것의 det를 구하면 0이 나오므로 종속이다.
V = {coshx, sinhx, e^x}
이는 coshx + sinhx = e^x 이므로 종속임을 쉽게 확인할 수 있다.