벡터공간에서 기저와 차원
공간의 기본이 되는 개념이다.
좌표계의 x, y같은 개념이므로 숙지하자.
원서 : Strang, G. (2023). Introduction to Linear Algebra (6th ed.).
1. 벡터공간에서 기저와 차원
벡터공간 V에 대하여
S={v1,v2,…,vn}는 V의 부분집합이라 하자.
집합 S가 다음 두 가지 조건을 만족하면 S를 V의 기저(basis) 라 한다.
① {v1,v2,…,vn}이 V를 생성(span) 한다.
② {v1,v2,…,vn}이 선형독립이다.
2. 벡터공간의 차원 (dimension)
S={v1,v2,…,vn}가 V의 기저이면, S의 원소의 개수 n을 벡터공간 V의 차원(dimension)이라 하며 다음과 같이 나타낸다
\[dimV=n\]3. 기저에 대한 좌표벡터와 좌표공간으로의 변환
S={v1,v2,…,vn}이 벡터공간 V의 기저이면, V에 속하는 모든 벡터 v는 적당한 실수 a1,a2,…,an에 대하여 다음과 같이 나타낼 수 있다.
\[v=a_1v_1+a_2v_2+⋯+a_nv_n\]이때, [v]S=(a1,a2,…,an)을 기저 S에 대한 v의 좌표벡터(상대좌표, 좌표행렬 , Coordinate vector)이라 한다.
또한 벡터공간은 기저에 의하여 좌표공간으로 변환될 수 있다.
이해를 위해 부족하지만 그림을 참고해보자.
4. 여러가지 행렬의 차원
① Dimension of { A ∈ Mₙ , Aᵀ = A } (대칭행렬)
ex) 2차원일 경우
따라서 기저(basis)는 다음과 같다
\[\begin{bmatrix}1 & 0 \\ 0 & 0\end{bmatrix}, \quad \begin{bmatrix}0 & 1 \\ 1 & 0\end{bmatrix}, \quad \begin{bmatrix}0 & 0 \\ 0 & 1\end{bmatrix}\]따라서 일반적인 nxn 대칭행렬에서는
\[A = \begin{bmatrix} * & * & * & \cdots & * \\ & * & * & \cdots & * \\ & & * & \cdots & * \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ & & & \cdots & * \end{bmatrix} \quad (\text{대칭조건: 위 삼각 부분이 자유변수})\]따라서 차원은 다음과 같이 나온다
\[1 + 2 + 3 + \cdots + n = \frac{n(n+1)}{2}\]② Dimension of { A ∈ Mₙ , Aᵀ = -A }(반대칭행렬, 교대행렬)
ex) 2차원일 경우
따라서 기저(basis)는 다음과 같다
\[\begin{bmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{bmatrix}\]따라서 일반적인 nxn 대칭행렬에서는
\[A = \begin{bmatrix} 0 & * & * & \cdots & * \\ & 0 & * & \cdots & * \\ & & 0 & \cdots & * \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ & & & \cdots & 0 \end{bmatrix}\]따라서 차원은 다음과 같이 나온다
\[1 + 2 + \cdots + (n-1) = \frac{n(n-1)}{2}\]③ Dimension of { A ∈ Mₙ , trA = 0 }(trace가 0인 행렬
따라서 기저는 다음과 같다
\[\left\{ \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} \right\}\]이를 일반화 하면 다음과 같이 나온다
\[n^2 - 1\]④ 대칭행렬이면서 TrA = 0
\[A = \begin{bmatrix} a & b \\ b & -a \end{bmatrix}\] \[\frac{n(n+1)}{2} - 1\]